数列极限是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。在求解数列极限时，不同的方法对应着不同的情况，这篇文章将对常用的方法进行总结并结合例题加以说明。
1. 通项公式法
通过求出数列的通项公式，进而判断其极限。例如，当数列为等比数列、等差数列时，可以使用通项公式法求解。
2. 套路化方法
有些数列存在一些套路化的特点，例如数列交替取正负号、数列为倒数等，这些特点可以通过变形得到更简单的表达式，从而计算出极限。
3. 夹逼定理
当一个数列在某一区间内被两个大小相等的数列夹住时，这三个数列的极限是相等的。利用夹逼定理可以求出某些复杂数列的极限。
4. 极限的四则运算法则
当已知数列A和数列B的极限分别为a和b时，可以通过极限的四则运算法则计算出A+B、A-B、A*B、A/B的极限。
5. 引理法
当无法直接计算数列的极限时，可以使用引理法。即通过引入一个相关的函数，分析函数极限从而推导出数列的极限。
例题：
设数列$a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}$，求$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n$。
解法：
根据夹逼定理可知，对于任意的$n\in N^*$，有：
$$\sqrt{n^2+n}<\sqrt{n^2+k}<\sqrt{n^2+2n}$$
其中$k\in [n,n+1,\cdots,2n]$。
因此，有：
$$\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}<\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}<\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$$
将上式代入原式中得到：
$$\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}< a_n< \frac{2}{\sqrt{n^2+2n}}$$
当$n\rightarrow \infty$时，由夹逼定理可知：
$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=0$$
因此，根据夹逼定理可知：
$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=0$$
结论：
通过对数列极限求解方法的总结与例题的分析，我们可以得出以下结论：
在实际问题中，根据数列的特点选择相应的求解方法是关键。四则运算法则和夹逼定理是常用的简单方法，而引理法和套路化方法则常常用于解决一些复杂问题。