在数学中，函数极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。对于求解函数极值问题，有几种常见的方法，本文将介绍这些方法以及一些例题，帮助读者更好地理解和掌握。一、导数法导数法是最常见的求解函数极值的方法，通过求函数的导数来确定函数的增减性。当导数等于0时即为函数的极值点，根据二阶导数可以判断这个点是极大值还是极小值。二、边界法边界法是...
在数学中，函数极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。对于求解函数极值问题，有几种常见的方法，本文将介绍这些方法以及一些例题，帮助读者更好地理解和掌握。
一、导数法
导数法是最常见的求解函数极值的方法，通过求函数的导数来确定函数的增减性。当导数等于0时即为函数的极值点，根据二阶导数可以判断这个点是极大值还是极小值。
二、边界法
边界法是针对区间有限的函数而言的，通过比较区间端点和函数值的大小来确定函数的极值。当函数值最大的点为端点时即为极大值点，当函数值最小的点为端点时即为极小值点。
三、拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法适用于含有约束条件的极值问题，通过构造拉格朗日函数，将约束条件纳入考虑，在满足约束条件的前提下求解函数的极值。
例题：
1. 求函数f(x)=x^3-9x^2+24x+1在[0,4]上的最大值和最小值
解：对f(x)求导得f'(x)=3x^2-18x+24=3(x-2)^2，因此极值点为x=2，代入原式得f(2)=1，所以最小值为1。
其次，将区间端点0,4代入原式得f(0)=1，f(4)=1，因此最大值和最小值均为1。
2. 在椭圆面积为6的条件下，求长半轴与短半轴之比最大的椭圆的长半轴和短半轴
解：设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，根据面积限制得到约束条件a*b*π=6，因此构造拉格朗日函数：
L(x,y,λ)=x^2/y^2+λ(a*b*π-6)
对L(x,y,λ)分别求偏导数得到：
∂L/∂x=2x/y^2
∂L/∂y=-2x^2/y^3+λa*b*π
∂L/∂λ=a*b*π-6
令偏导数分别为0，得到方程组：
2x/y^2=0
-2x^2/y^3+λa*b*π=0
a*b*π=6
解得x=y=√2，a=b=√3，则长短半轴比最大。