在数学中，函数的连续性是一个非常重要的概念，而判断一个函数是否连续也是我们经常需要面对的问题。本文将介绍三种判断函数连续的方法，并且结合实例进行详细说明，以帮助读者更好地理解和掌握这些方法。
一、第一类函数：初等函数和初等函数运算的组合
初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等，初等函数运算的组合包括加减乘除、复合等运算。对于初等函数和初等函数运算的组合，只要在定义域内不存在间断点或者无穷大值，就可以判断该函数在该点处连续。
例如，函数f(x) = (x^2 1)/(x 1)，在x = 1处虽然存在一个无穷大值，但由于这个无穷大值属于这个函数的极限值，并不影响函数在该点处的连续性，因此可以判断f(x)在x = 1处连续。
二、第二类函数：分段函数
分段函数是指一个函数在定义域内的值域被分成了多个部分，并且每个部分使用不同的公式来计算。对于分段函数，只有当左右极限值相等时，才可以判断该函数在该点连续。
例如，函数f(x) = {x + 1 (x < 0), 2x + 1 (x >= 0)}，在x = 0处，左右极限值分别为1和1，因此可以判断f(x)在x = 0处连续。
三、第三类函数：反常函数
反常函数是指在定义域内存在间断点或者无穷大值的函数。对于反常函数，需要进行额外的判断，只有当左右极限值存在且相等时，才能判断该函数在该点连续。
例如，函数f(x) = sin(1/x)，在x = 0处不存在极限值，因此无法使用前两种方法判断其连续性。但是通过求解左右极限值可以得到，f(x)在x = 0处的左右极限值都为0，因此可以判断f(x)在x = 0处连续。
本文介绍了三种判断函数连续的方法，分别是针对初等函数和初等函数运算的组合、分段函数和反常函数。这些方法包括了许多实际问题中遇到的情况，并且通过实例的详细说明，使读者对如何判断函数连续有更深刻的认识和理解。