值域是数学中一个基本的概念，指函数在自变量取值范围内所能够取到的所有可能的函数值。求解值域是数学中常见的问题，也是常见的高考考点之一。本文将介绍值域的定义、求解方法和实例，帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 值域的定义
值域是函数在自变量取值范围内所能够取到的所有可能的函数值。它是由函数的像所组成的集合。
2. 求解方法
（1） 对于连续函数，可以使用函数的最大值和最小值来确定其值域。具体做法是先求出函数的最大值和最小值，然后将这两个值所张成的区间作为该函数的值域。
（2） 对于离散函数，可以将其所有可能的函数值列出来，然后将这些值构成的集合作为该函数的值域。
3. 实例
（1） 对于函数$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，求其值域。
解：首先，这是一个连续函数。当$x=\pm 2$时，$x^2-4=0$，所以$f(x)$无定义。又因为$x^2-4<0$的区间上$f(x)$的符号与$x^2-4$相反，所以$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup (-2,2)\cup (2,+\infty)$上单调。由于$\lim_{x\rightarrow \pm \infty}f(x)=0$，所以$f(x)$的最大值和最小值分别为0和$-\frac{1}{4}$。因此，其值域是$$\left(-\frac{1}{4},0\right]$$
（2） 对于函数$f(x)=\begin{cases} 1, & x=0 \\ \frac{1}{x}, & x\neq 0 \end{cases}$，求其值域。
解：首先，这是一个离散函数。当$x=0$时，$f(x)=1$，当$x\neq 0$时，$f(x)=\frac{1}{x}$。因此，其所有可能的函数值为$\left\{1,\frac{1}{x}\right\}$。可以发现，当$x$取任意正数时，$f(x)$可以取到任意大的正数；当$x$取任意负数时，$f(x)$可以取到任意小的负数；当$x$趋近于零时，$f(x)$可以取到正无穷大。因此，其值域为$(0,+\infty)$。
本文介绍了值域的定义、求解方法和实例，值域的求解是数学中的基本问题之一，也是高考中的常见考点。希望通过本文的介绍能够帮助读者更好地掌握这一知识点，提高数学成绩。