质数和合数是数学中的基本概念，质数指除1和它本身外不能被其它自然数整除的数，合数指至少可以被一个自然数和本身整除的数。怎样判断一个数是质数还是合数呢？这是我们今天要探讨的问题。
1.试除法
试除法是最常用的一种方法，即将待判断的数不断地除以从2开始到它本身减1的所有自然数，如果都无法整除，则该数为质数。如果找到一个因子，则该数为合数。例如，我们想证明13是质数，我们将13分别除以2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，发现13无法被2到12中任何一个数整除，因此13是质数。
2.埃氏筛法
埃氏筛法是一种较为高效的质数判定算法。具体方法是先将2～n之间的所有自然数列出来，然后从2开始，把当前数字的倍数全部标记成合数，再取下一个未被标记的数字，重复操作，直到所有数字都被标记。最后，未被标记的数就是质数。例如，我们想证明13是质数，我们将2到13之间的所有数列出来，即2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13。从2开始，将2的倍数（4、6、8、10、12）标记为合数；然后取下一个未被标记的数字3，将3的倍数（6、9、12）标记为合数；然后取下一个未被标记的数字5，将5的倍数（10）标记为合数。由于13没有被标记为合数，因此它是质数。
3.费马检验
费马检验是一种基于费马小定理的快速判定质数的方法。费马小定理指如果p是质数，a是任意自然数，则a^(p-1) mod p = 1。如果某个数a满足a^(p-1) mod p = 1，但p不是质数，则p被称为伪素数。例如，我们想证明13是质数，我们可以取一个小于13的数a，例如2，计算2^(13-1) mod 13的值，发现它等于1，因此13可能是质数。再取另一个数3，计算3^(13-1) mod 13的值，发现它也等于1，因此13可能是质数。由此可知，13很有可能是质数。
以上是几种常用的判断质数和合数的方法，通过试除法、埃氏筛法和费马检验可以判断一个数是质数还是合数。在实际应用中，我们也可以结合多种方法进行判断，以提高准确率和效率。