在数学分析中，我们经常会涉及到数列的收敛和发散问题。对于一个数列，判断它是否收敛以及收敛到哪个值是十分重要的。本篇文章将介绍几种常用的数列收敛、发散的判断方法。
一、数列极限的定义
数列的极限是指当$n$趋向于正无穷时，数列$a_n$的值趋向于某个实数$L$。我们记为$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=L$。这里需要注意，不是所有数列都有极限存在。
二、夹逼定理
夹逼定理也叫迫敛定理，是一种比较简单易懂的数列收敛或发散的判断方法。假设数列$b_n$和$c_n$都趋向于同一个实数$L$，且存在一个数列$a_n$，当$n$充分大时，满足$b_n \leq a_n \leq c_n$，那么数列$a_n$的极限也趋向于$L$。例如，当$n$趋近于正无穷时，$\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n} \cdot \sin\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}$，因此$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sin\frac{1}{n}=0$。
三、单调有界数列定理
单调有界数列定理又称为柯西收敛原理，它是通过证明数列单调增加而上界存在来判断数列收敛的。假设数列$a_n$单调递增且有上界，则它的极限存在且趋向于$a_n$的上确界。同样地，如果数列单调递减且有下界，那么它的极限存在且趋向于$a_n$的下确界。
四、级数收敛定理
级数是指一连串数的和，如果级数的和有限，我们称其为收敛的；如果级数的和是正无穷大或负无穷大，我们称其为发散的。那么如何判断一个级数是否收敛呢？常用的方法有比较判别法、比值判别法等。
本文介绍了数列收敛、发散的几个判断方法。通过这些方法可以方便快捷地判断出一个数列是否收敛，并求出其极限。这对于解题、求解实际问题都具有很大的帮助。