数学中的合成函数是指由两个或更多的函数组合而成的函数。在实际应用中，我们经常需要对这些复杂的函数进行求导。本文将介绍数学合成函数的求导方法，并提供详细的步骤和示例。
一、什么是合成函数
二、合成函数的求导法则
三、合成函数求导的例题
四、结论
五、参考文献
一、什么是合成函数
1.1 合成函数的定义
合成函数是由两个或更多的函数组合而成的函数。设$y=f(u)$，$u=g(x)$，则$y$关于$x$的函数记为$y=f(g(x))$，称为复合函数或合成函数。
1.2 合成函数的举例
例如，设$f(x)=x^2$，$g(x)=\sin x$，则$f(g(x))=(\sin x)^2$是一个合成函数。
二、合成函数的求导法则
2.1 外层函数为幂函数、指数函数、对数函数、三角函数时的求导法则
若$y=u^n$，则$\dfrac{dy}{dx}=nu^{n-1}\dfrac{du}{dx}$；
若$y=a^u$，则$\dfrac{dy}{dx}=a^u\ln a\dfrac{du}{dx}$；
若$y=\log_a u$，则$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{u\ln a}\dfrac{du}{dx}$；
若$y=\sin u$，则$\dfrac{dy}{dx}=\cos u\dfrac{du}{dx}$；
若$y=\cos u$，则$\dfrac{dy}{dx}=-\sin u\dfrac{du}{dx}$；
若$y=\tan u$，则$\dfrac{dy}{dx}=\sec^2u\dfrac{du}{dx}$。
2.2 内层函数为幂函数、指数函数、对数函数、三角函数时的求导法则
若$y=u^n$，$u=g(x)$，则$\dfrac{dy}{dx}=nu^{n-1}\dfrac{du}{dx}$；
若$y=a^u$，$u=g(x)$，则$\dfrac{dy}{dx}=a^u\ln a\dfrac{du}{dx}$；
若$y=\log_a u$，$u=g(x)$，则$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{u\ln a}\dfrac{du}{dx}$；
若$y=\sin u$，$u=g(x)$，则$\dfrac{dy}{dx}=\cos u\dfrac{du}{dx}$；
若$y=\cos u$，$u=g(x)$，则$\dfrac{dy}{dx}=-\sin u\dfrac{du}{dx}$；
若$y=\tan u$，$u=g(x)$，则$\dfrac{dy}{dx}=\sec^2u\dfrac{du}{dx}$。
2.3 复合函数的求导法则
设$y=f(u)$，$u=g(x)$，则复合函数$y=f(g(x))$的导数为$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$。
三、合成函数求导的例题
3.1 求$f(x)=\sqrt{1+\sin x}$的导数
解：设$u=1+\sin x$，则$f(x)=\sqrt{u}$。根据外层函数为幂函数的求导法则和内层函数为三角函数的求导法则，得到：
$\dfrac{df}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{1+\sin x}}\cos x$
因此，$f'(x)=\dfrac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}$。
3.2 求$f(x)=e^{2x^2+3x}$的导数
解：设$u=2x^2+3x$，则$f(x)=e^u$。根据外层函数为指数函数的求导法则和内层函数为幂函数的求导法则，得到：
$\dfrac{df}{dx}=e^u\dfrac{du}{dx}=e^{2x^2+3x}(4x+3)$
因此，$f'(x)=(4x+3)e^{2x^2+3x}$。
3.3 求$f(x)=\ln(1+\cos x)$的导数
解：设$u=1+\cos x$，则$f(x)=\ln u$。根据外层函数为对数函数的求导法则和内层函数为三角函数的求导法则，得到：
$\dfrac{df}{dx}=\dfrac{1}{u}\dfrac{du}{dx}=-\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$
因此，$f'(x)=-\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$。
四、结论
本文介绍了数学合成函数的定义和求导法则，并提供了详细的步骤和示例。通过本文的学习，读者可以掌握数学合成函数的求导方法，更好地应用于实际问题中。
五、参考文献
1.百度百科：合成函数 [EB/OL].(2021-08-17)[2021-09-08].https://baike.baidu.com/item/%E5%90%88%E6%88%90%E5%87%BD%E6%95%B0/10179753?fr=aladdin。
2.人民网：数学基础知识之合成函数 [EB/OL].(2021-07-28)[2021-09-08].http://math.people.com.cn/n1/2021/0728/c14756-32114416.html。