矩阵可逆是线性代数中一个重要的概念，具有广泛的应用。在实际问题中，我们经常需要判断一个矩阵是否可逆。本文将通过推导矩阵可逆的定义，详细解释什么样的矩阵才是可逆矩阵。
一、矩阵可逆的定义
在推导矩阵可逆的定义之前，需要先了解一些相关的基础概念。假设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，$I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵，如果存在一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，使得 $AB=BA=I_n$，那么称 $A$ 是可逆矩阵，$B$ 是 $A$ 的逆矩阵。即 $A$ 可逆等价于存在 $B$ 使得 $AB=BA=I_n$。
二、可逆矩阵的推导过程
现在开始推导矩阵可逆的定义。假设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，$I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。如果 $A$ 可逆，那么必然存在一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，使得 $AB=BA=I_n$。则有：
$$
AB=I_n
$$$$
(AB)B=B
$$$$
A(BB)=B
$$$$
AI_n=B
$$
同理可得 $BA=I_n$，则有：
$$
BA=B(BA)
$$$$
(BA)A=B
$$$$
B(AA)=B
$$$$
B=A^{-1}.
$$
因此，如果存在一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$ 使得 $AB=BA=I_n$，那么 $A$ 是可逆矩阵，且 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵。反之，如果不存在这样的矩阵 $B$，则 $A$ 不可逆。
三、
本文通过对矩阵可逆的定义进行推导，详细解释了什么样的矩阵才是可逆矩阵。若一个矩阵存在逆矩阵，则称该矩阵为可逆矩阵，并且该逆矩阵唯一。相反，若一个矩阵不存在逆矩阵，则称其为不可逆矩阵。在实际应用中，我们常常需要判断一个矩阵是否可逆，因此对于矩阵可逆的概念和推导过程有所了解是很重要的。