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布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model），简称BS模型，是一种为期权或权证等金融衍生工具定价的数学模型，由美国经济学家迈伦·斯科尔斯与费雪·布莱克所最先提出，并由罗伯特·墨顿完善。该模型就是以迈伦·斯科尔斯和费雪·布莱克命名的。1997年迈伦·斯科尔斯和罗伯特·墨顿凭借该模型获得诺贝尔经济学奖。然而统计学上的肥尾现象影响此公式的有效性。
B-S模型5个重要假设
1、金融资产价格服从对数正态分布，而金融资产收益率服从正态分布；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃）；
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
模型
其中:
C—期权初始合理价格
L—期权交割价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率H
σ2—年度化方差
N()—正态分布变量的累积概率分布函数，
外部链接
The Black–Scholes Model, global-derivatives.comOptions pricing using the Black-Scholes Model, Investment Analysts Society of Southern AfricaBlack, Merton, and Scholes: Their work and its consequences, by Ajay ShahA Study of Option Pricing Models, Prof. Kevin RubashBlack-Scholes in English, risklatte.comThe Black–Scholes Option Pricing Model, optiontutorEmployee Stock Option Valuation, esomanager.com来自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=布莱克-斯科尔斯模型&oldid=17189494”Black-Scholes期权定价模型
概述 Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-斯克尔斯期权定价模型 1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。 斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。B-S期权定价模型及其假设条件(一)B-S模型设置了以下重要的假设： 1、股票价格服从对数正态分布； 2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施； 6、金融市场不存在无风险套利机会； 7、金融资产的交易可以是连续进行的； 8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式 C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2) 其中: D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ·T D2=D1-σ·T C—期权初始合理价格 L—期权交割价格 S—所交易金融资产现价 T—期权有效期 r—连续复利计无风险利率H σ2—年度化方差 N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。 第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274。B-S定价模型的推导与运用(一)B-S模型的推导 B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是: E[G]=E[max(ST-L，O)] 其中，E[G]—看涨期权到期期望值 ST—到期所交易金融资产的市场价值 L—期权交割(实施)价 到期有两种可能情况: 1、如果ST>L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L 2、如果ST<L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有: max(ST-L，O)=0 从而: E[CT]=P×(E[ST|ST>L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L) 其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格: C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。 首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT 其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围，所以， E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2) 其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT 最后，将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)(二)B-S模型应用实例 假设市场上某股票现价S为 164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下: ①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328 ②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570 ③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761 ④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803 因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。(三)看跌期权定价公式的推导 B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为: S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T 移项得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，将B-S模型代入整理得:P=L·E-γT·[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看跌期权初始价格定价模型。B-S模型的发展、股票分红 B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。 (一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT·E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式: C=(S-·E-γT·N(D1)-L·E-γT·N(D2) (二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004= 6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。 在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S·E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S·E-δT·N(D1)-L·E-γT·N(D2)B-S模型的影响 自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后， 芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。对B-S模型的检验、批评与发展 B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。 1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)､奇拉斯(chiras)､曼纳斯特(manuster)､麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法： 1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。 2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。 3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。 4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。 对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面： 首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿(merton)､约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。 其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2.股票的可分性受具体情况制约；3.频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。 再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者(包括布莱克本人)曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。 此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息(d)的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。若是美国买方期权，情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限､股息调整后的执行价格(x-d)替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。 Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
B-S期权定价模型及其假设条件
一)B-S模型设置了以下重要的假设：
1、股票价格服从对数正态分布；
2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；
4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施;
6、金融市场不存在无风险套利机会；
7、金融资产的交易可以是连续进行的；
8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式
C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
其中:
D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ•T
D2=D1-σ•T
C—期权初始合理价格
L—期权交割价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率H
σ2—年度化方差
N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100365=0.274。
B-S定价模型的推导与运用
(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:
E[G]=E[max(ST-L，O)]
其中，E[G]—看涨期权到期期望值
ST—到期所交易金融资产的市场价值
L—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果ST>L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L
2、如果ST＜?XML:NAMESPACE PREFIX = L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有 /＞< p>
max(ST-L，O)=0
从而:
E[CT]=P×(E[ST|ST>L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)
其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。
首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT
其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围，所以，
E[ST|ST]>=S•EγT•N(D1)N(D2)
其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT
最后，将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
(二)B-S模型应用实例
假设市场上某股票现价S为 164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:
①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328
②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570
③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761
④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。
(三)看跌期权定价公式的推导
B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:
S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T
移项得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，将B-S模型代入整理得:P=L•E-γT•[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看跌期权初始价格定价模型。
B-S模型的发展、股票分红
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。
(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT•E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
C=(S-•E-γT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004= 6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。
Black Scholes
通常意义的Black Scholes指的是以下3种概念： ·Black Scholes模型 是描述权益类证券的一个数学模型，假设权益类证券价格是一个动态过程； ·Black Scholes PDE描述基于权益类证券的衍生品价格的偏微分方程； ·Black Scholes公式是把Black Scholes PDE应用到欧式认购和认沽期权的定价结果。 Fischer Black和Myron Scholes在1973年发表著名期权定价论文。 1997年10月10日，斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)获得了第二十九届诺贝尔经济学奖 （一同获得的是哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)）。Fisher Black 当时已故。 他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。扩展阅读： http://www.QuantHR.com有关Black Scholes model的故事在这儿分享给大家。 Black-Scholes Model的起源当追溯到19世纪20年代。当时，苏格兰科学家Robert Brown观察到水中的悬浮颗粒呈不规则运动。这一现象被命名为布朗运动，想必高中学理科的人都应该很熟悉了。到了20世纪早期，Albert Einstein运用布朗运动的原理解释分子热运动，发表了数篇学术论文，从而获得了诺贝尔奖。这个时候，一种用于研究微粒随机运动的数学方法已经为科学界所广泛接受，这种方法后来演变成了数学的一个重要分支——随机微积分。这些看似与金融无关的学术研究，后来都成为Black-Scholes Model的基础。 1900年，一个名叫Louis Bachelier的来自法国的博士生在博士毕业论文中建立了一个巴黎市场的期权定价模型，这个模型酷似后来名扬天下的Black-Scholes Model。然而不幸的是，Bachelier的导师对他非常失望，原因是他的研究过于偏向实践。尽管Bachelier拿到了博士学位，但由于导师不再支持他，他的职业道路默默无闻，而他在博士毕业论文中建立的模型也就被埋没了。 1960年后期，Fischer Black拿到了Harvard的数学博士。毕业之后的Black选择进入Boston一家管理咨询公司工作。在那里，Black遇到了一位年轻的MIT金融教授，Myron Scholes。两个年轻人很聊得来，经常就金融市场的运作等问题交换意见。不久之后，Black加入MIT，也成为了一名金融教授，并且对除期权之外的资产定价的研究做出了杰出的贡献。后来，Black和Scholes开始研究期权，尽管在那个时候期权仅限于OTC市场。 Black和Scholes试图用两种方法为期权定价，一种是已经为金融界广泛接受的Capital Asset Pricing Theory，而另一种则需要运用随机微积分。运用第一种方法，他们得到一个等式。但是，他们的第二种方法却一度无法取得突破，因为他们遇到了一个他们解不了的微分方程。由于第二种方法一旦成功将对学术界和业界有重大贡献，他们坚持不懈地去探索这个微分方程的解法。终于，Black将这个微分方程转化为一个描述热运动的方程，从而通过查阅物理学典籍而轻易求得了微分方程的解，并且获得了与第一种方法相匹配的期权定价模型。尽管Black和Scholes的论文被包括Journal of Political Economy在内的两家学术期刊拒绝，但Journal of Political Economy重新审核之后接受了他们的论文。就这样，著名的Black-Scholes Model终于公之于世。 有趣的是，另外一名来自MIT的金融教授在同一时期也在研究期权定价。这个叫Robert Merton的年轻人几乎与Black和Scholes同时推导出了相同的期权定价模型。Merton为人非常谦虚，他要求学术期刊的编辑不要将他的论文早于Black和Scholes的论文刊登出来。最终，Merton的论文在Bell Journal of Economics and Management Science上发表，发表时间与Black和Scholes在Journal of Political Economy上发表的论文一样。也正是因为这样，很多教科书都将这个期权定价模型命名为Black-Scholes-Merton Model或BSM。 1983年，Black离开学术界，转而进入华尔街加盟了Goldman Sachs。不幸的是，他1995年就去世了，年仅57岁。而Scholes和Merton都一直留在学术界，对期权在市场中的应用做出了很多贡献。1997年，由于BSM以及在期权定价及期权市场方面的杰出研究成果，Scholes和Merton荣获诺贝尔经济学奖。然而，Black已经去世，按惯例无法获得诺贝尔奖，但他的贡献亦载入史册。
Black—Scholes期权定价模型可用来计算单个期权的价值，再计算预计给予的期权数，然后确定补偿费用金额。该模型须考虑6个因素，即行使价格、股票市价、期权的预计有效期限、股票价格的预计浮动性、预计股票股利和每一时期连续复利计息的无风险利率。 公式很复杂，你自己去看一吧。 http://www.chinaoptions.cn/Admin/Article/UploadWord/200561011745555.pdf挑选虚拟主机和服务器有哪些技巧？
今天笔者大家分享挑选企业虚拟主机的技巧。
1.首先是给网站一个定位。
确定网站的定位是选购企业虚拟主机的一个关键要素。主机的类型必须符合网站的定位以及设计规模。如果规模并不大，功能方面仅需要用于浏览等，就可以选用静态企业虚拟主机。
2.选择主机时，确认IP地址是否能够访问。
大部分的用户由于业务需求通常都选用国内的，这时就得考虑这企业虚拟主机IP地址在国内能否顺利访问到。如果事后再考虑到这一点，到时需要退款的话就相对比较麻烦。
3.合适的主机，应性能为先。
企业虚拟主机分为windows主机和linux主机两种系统，挑选企业虚拟主机时应根据网站所使用的语言。windows虚拟主机主要适用于ASP脚本 和静态的网站，而linux虚拟主机对PHP等脚本的支持程度会比windows虚拟主机高。顺便一提，企业虚拟主机的类型主要有VPS主机、香港VPS主机、香港服务器租用、美国VPS租用等。同时，主机的硬件设施必须能够满足企业网站的要求。
4.清楚主机上所架设的网站数量。
这一步非常重要。首先，我们要知道一个虚拟主机能够架设成千上百的网站。如果选购时不知道，部分企业虚拟主机商便会为达到最高盈利而会在一个主机上架设尽可能多的网站，而用户的网站速度受阻。另外，如果对速度和控制要求较高，可选用独立服务器。
5.利弊权衡，选择合适的虚拟主机提供商。
香港VPS主机
在选购企业虚拟主机的同时，需要重视提供商的筛选。选择企业虚拟主机提供商的注意事项：(1)选择信用度较高的企业主机提供商，例如大型的网络公司的业务就比较稳定，机房条件也较好;(2)切勿贪小便宜，如今企业虚拟主机市场竞争激烈，部分提供商以低价参与竞争，牺牲的只能是主机的性能;(3)了解企业主机的限制，部分提供商会因为某些因素关闭一些重要的服务器功能，或将影响到网站系统的运行;(4)不和论坛、邮件列表、聊天室等这些非常消耗资源系统的网站作“邻居”。
香港服务器租用
企业的网站建设，选择一个合适的企业虚拟主机是至关重要的一个环节。比起自己架设一台服务器，虚拟主机具有很大的成本优势。精明挑择企业虚拟主机，该省则省
行业发展规划怎么写？
1、产品：在产品设计方面，把握流行趋势，了解时尚元素，如产品风格、版本和面料，确定主要产品，输入产品作为一个整体概念，灌输的概念设计到终端经销商，不断拓展产品线的宽度和深度，和丰富的产品系列。
2、价格：由于区域发展不平衡，价格难以统一，但可以确定区域主导价格，价格折扣不能过低，可以保护各区域的价格体系，避免交叉商品现象；促销活动期间，一律实行统一促销价格，尽量按全省统一价格销售。
3、渠道：确定渠道模式，明确渠道重点，对渠道进行科学的管理布局，制定一系列激励政策，稳定渠道成员之间的关系。制定详细的渠道改进计划，针对小店转大、多店一地、形象提升、空白市场招商等制定相应的政策。
4、推广：在新品发布会方面，做好每一次新主题、新信息的新品发布会，精心策划，高规格，灵活运用订货技巧，制定有效的激励政策。制定新产品上市推广方面的推广计划，如：制作宣传片、产品手册、POP、海报等。
在终端服务方面要做好具体实施措施、产品标识、产品营销手册、辅助材料等配套材料、销售培训、陈列、售后服务等工作。在促销活动方面，充分利用节假日、重大节日做好年度促销计划。在品牌推广方面，策划一些专项活动，加强品牌联盟，举办更多公益活动。
5、团队建设：不断改善组织结构，提高团队的数量在市场部、企划部、客户部、仓库物流部门、人事部门、培训部门明确各部门的工作权利和责任，加强团队建设，加强日常管理，如会议管理、性能分析、报告管理等。
引进优秀的职业经理人；加强与员工的沟通，开展户外拓展、团队培训、生日派对等一系列团队活动。

扩
不想买服务器可以用自己的电脑当服务器么？
这个完全是可以的，如果是个人博客，访问量不大的网站，使用电脑就比较浪费了，建议使用类似树莓派、工控机之类的设备，或者是NAS。下文具体说一说如何使用树莓派+DDNS搭建个人网站。
树莓派搭建服务器树莓派是可以作为服务器使用的，搭建个人博客或者各类网站，搭建时，需要安装必要的服务器软件，比如Nginx、PHP、MariaDB（MySQL）、phpMyAdmin等，也就是我们常说的LNMP套件。
安装nginx：sudo apt-get install nginix-light;安装php：sudo apt-get install php-fpm配置nginx，默认情况下nginx只能处理静态网页，如果处理php网页，需要修改nginx配置文件，默认位置为：/etc/nginx/nginx.conf安装mariadb：sudo apt-get install mariadb-server phpmyadmin。 搭建网站在树莓派上安装了nginx、php、mariaDB、phpMyAdmin之后，并且完成相关配置后，就可以将自己搭建的网站放进去了。
访问phpmyadmin，修改数据库密码，将网站目录放在/var/www/html下，就可以在树莓派上搭建个人网站了。
外网访问网站搭建好了，如何实现外网访问呢？有多种方式可以实现，这里列举几种：
方式1：公网IP+DDNS动态域名，这种方式的前提条件是家里的宽带可以自动获取公网IP，而不是运营商的私网地址，需要注意的是，端口映射时，对外不能使用80、8080、443之类的公共端口，这种方式带宽限制最少；方式2：使用Frp、Ngrok之类的内网穿透，需要由VPS或者借用其他人搭建的VPS，即便家庭宽带使用的私网IP，也可以使用；方式3：使用zerotier搭建局域网，这种方式，相当于借助互联网搭建了局域网，在任何地方都可以访问家里的网络，不能提供对外服务。如果觉得对你有帮助，可以多多点赞哦，也可以随手点个关注哦，谢谢。
在线教育平台哪个比较好？
在线平台这么多，B端的、C端的，各个细分领域的都有自己的代表性机构，很难说出具体哪个更好，也不好做对比。
小格子简单说说在线教育中提到的比较多的机构，希望可以帮助到大家。
针对C端的：1.新东方在线
新东方在线是新东方教育科技集团旗下专业的在线教育网站，是国内首批专业在线教育网站之一，依托新东方强大师资力量与教学资源，拥有中国先进的教学内容开发与制作团队，致力于为广大用户提供个性化、互动化、智能化的卓越在线学习体验。课程涵盖出国考试、国内考试、职业教育、英语学习、多种语言、K12教育等6大类。
2.学而思网校
好未来教育集团旗下发展历史较久的中小学在线教育品牌，国内较早整合互联网与教育两大领域的中小学在线学习平台，致力于教育资源的均衡发展。为6-18岁孩子提供小初高全学科课外教学。学生人数遍及全国200多个城市。
3.VIPKID
国内知名在线少儿英语教育品牌，专注为4-12岁小朋友提供专业的北美外教在线1对1英语学习体验。旨在为4-12岁孩子带去纯正的英语语言学习及美式教育。在VIPKID，除了语言同样注重培养孩子的创造力，表达力，以及独立思考的能力。
4.沪江网校
沪江网校是沪江旗下的海量优质课程平台，以社群学习为核心，致力于为亿万用户提供丰富、系统的学习课程和专业的教学服务。首创以班级为基础的服务体系。沪江网校课程囊括四大体系，分别是语言服务、留学服务、升学服务、职业职场兴趣等多领域的在线课程。
5.正保远程教育
正保远程教育成立于2000年，2008年在美国纽约证券交易所上市（股票代码：DL）。正保远程教育以网络职业教育为核心，围绕线上线下相结合的发展策略，不断扩充产品线，为各行业领域的个人和企业提供教育产品和服务，公司已经建立20个品牌网站，开设了200多个辅导类别，覆盖了会计、医药卫生、建设工程、法律、创业实训、中小学、自考、考研等13个不同行业。
6.作业帮
作业帮是面向全国中小学生的移动学习平台，也是习题搜索、课程直播和1对1辅导的综合学习工具。致力于为全国中小学生提供全学科的学习辅导服务，截至2018年，作业帮用户量突破4亿，月活用户超过1.2亿，是中小学在线教育领军品牌。
7.一起作业
一起科技旗下，国内知名K12智能教育平台，旗下拥有一起作业、一起学、一起公益等品牌，以大数据为驱动的学校教育平台。依托强大的教研和技术团队，为中国的老师、学生和家长提供基于互联网的在线作业和专项应试练习等系统的学习功能，并实现了K12阶段的全学段、全学科覆盖。
8.达内TEDU
达内，达内时代科技集团有限公司，创立于2002年，是中国高端IT培训的第一品牌，致力于培养面向电信和金融领域的Java、C++、C#/.Net、3G/Android、3G/IOS、 PHP、嵌入式、软件测试、ui、网络营销等11大课程方向中高端软件人才。
9.猿辅导
创立于2012年，旗下拥有猿辅导、小猿搜题、猿题库、小猿口算、斑马AI课等多款在线教育产品。猿辅导提供中小学全学科的课程，全国任何地区的中小学生，都可在家上名师直播课。猿辅导的特色在于：学生足不出户，手机联网就可以上课，尽享全国范围的教师资源。针对自己的特点，或查漏补缺，或培优拔高 。
10、跟谁学
跟谁学是国内以K-12为主的在线教育机构，秉承科技让教育更美好的使命，通过直播+辅导的双师模式，提供小学、初中、高中全科，以及语言、职业和兴趣教育等课程。
针对B端的：B端就是针对机构、老师等用户推出来的在线教育平台，可以帮助机构搭建自己的知识店铺，承载在线课程。这里可以看看格子匠系统。格子匠作为在线教育技术服务商，可以帮助想要布局在线教育领域的机构或老师搭建完全属于自己的在线教学平台。
格子匠优势1、格子匠无缝对接公众号、小程序、H5、APP、PC等端口，机构可以自主选择一个或多个组合端口搭建自己的知识付费平台，一个后台统一管理。
2、格子匠提供多样化的内容服务形式，直播、录播、音频、图文专栏满足不同用户的学习偏好，均可支持免费试听试看，方便机构进行引流转化。
3、多样化的互联网营销功能，比如拼团、分销、代理商、优惠码、海报裂变等，进一步助力平台推广引流，拓宽市场，挖掘潜在用户，打造基于微信社交生态的营销闭环。
4、全新一代的CRM系统，助力知识付费创业者收集各渠道用户资料，建立用户数据库，追踪用户行为，构建用户画像，打造精细运营用户、科学管理商机的“组合拳”。
5、督学管理提升老师教学效果。考试题库、随堂练习、评价点赞、积分规则、学习记录、打卡签到、课程提醒等多种功能尽心为学员服务，促进讲师学员沟通，及时了解学员学习情况，全方位保障学员学习效果。从而提升口碑，提高转化率和复购率。
6、优质服务确保售后无忧，每个机构都是有一对一专属客服人员，响应及时，细心耐心解答机构问题，让机构无技术、平台之忧，专心解决教研与引流问题。
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